Doppelpendel-Simulation
Stell Längen, Massen und Startwinkel ein und sieh zu, wie aus einer winzigen Abweichung am Start eine völlig andere Bahn wird.
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So funktioniert's
- Zusehen. Das Pendel startet von selbst. Verlangt dein Gerät weniger Bewegung, wartet es auf „Abspielen".
- Startwerte einstellen. Die Regler setzen Längen, Massen, Startwinkel und Schwerkraft. Jede Änderung beginnt die Bewegung von vorn.
- Chaos vergleichen. „Zweites Pendel" lässt ein zweites mitlaufen, dessen untere Stange nur ein hundertstel Grad weiter ausgelenkt startet.
- Tempo und Vollbild. „Tempo" verlangsamt oder beschleunigt die Bewegung, „Vollbild" zeigt sie bildschirmfüllend. Esc führt zurück.
- Teilen. „Link teilen" kopiert eine Adresse, die genau diese Startwerte wiederherstellt.
Hintergrund
Ein Doppelpendel besteht aus zwei Stangen: Die obere hängt an einem festen Punkt, die untere am Ende der oberen. An jedem Ende sitzt eine Masse. Lenkst du es nur wenig aus, schwingt es ruhig und berechenbar. Bei großen Winkeln dagegen schlägt die untere Stange Haken, überschlägt sich und kehrt nie genau in dieselbe Lage zurück.
Warum kleine Unterschiede groß werden
Die beiden Stangen tauschen ständig Schwung miteinander aus. Dabei wächst jeder Unterschied zwischen zwei Bahnen ungefähr exponentiell: Er verdoppelt sich in kurzen, regelmäßigen Abständen. Startet das zweite Pendel unten nur ein hundertstel Grad weiter, sind beide Massen bei den Startwerten dieser Seite nach gut drei Sekunden sichtbar getrennt und nach gut vier Sekunden weit auseinander. Diese Empfindlichkeit heißt deterministisches Chaos. Bei kleinen Winkeln fehlt sie: Dort schwingt das Pendel in zwei festen Grundformen, gleichsinnig und gegeneinander, deren Dauer sich mit einer Näherungsformel genau vorhersagen lässt.
Wie die Simulation rechnet
Aus den Längen, Massen und der Schwerkraft ergeben sich zwei Gleichungen für die Winkelbeschleunigungen beider Stangen. Die Simulation löst sie in festen Schritten von einer zweitausendstel Sekunde mit dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung. Wie viele Schritte je Bild gerechnet werden, hängt von der vergangenen Zeit ab, nicht vom Bildschirm: Ein langsames Handy zeigt dieselbe Bahn wie ein schneller Rechner, nur mit weniger Bildern. Als Prüfstein dient die Gesamtenergie, die ohne Reibung gleich bleiben muss.
Grenzen
Die Stangen sind hier masselos und starr, die Massen punktförmig, und es gibt weder Reibung noch Luftwiderstand. Ein echtes Pendel kommt deshalb irgendwann zur Ruhe. Außerdem wachsen auch winzige Rundungsfehler im Chaos an: Nach einiger Zeit zeigt die Simulation nicht mehr genau die Bahn der eingestellten Startwerte, sondern eine, die ihr am Anfang zum Verwechseln ähnlich war. Typisch für das Verhalten bleibt sie trotzdem.
Beispiele
Kleine Auslenkung
Oben 10°, unten 14°: Beide Stangen schwingen gleichsinnig und regelmäßig hin und her, ganz ohne Chaos. Eine Schwingung dauert gut 2,6 Sekunden.
Chaotische Bewegung
Beide Stangen starten waagerecht. Nach wenigen Schwüngen überschlägt sich die untere, und die Spur füllt nach und nach die ganze Fläche.
Zwei fast gleiche Starts
Ein zweites Pendel startet unten um ein hundertstel Grad weiter. Rund drei Sekunden lang decken sich beide, dann trennen sich ihre Bahnen.
Häufige Fragen
Warum wird die Bewegung chaotisch?
Weil die beiden Stangen sich gegenseitig anstoßen und bremsen. Bei großen Winkeln verstärkt dieses Hin und Her jeden kleinen Unterschied, bis zwei fast gleiche Starts nach wenigen Sekunden völlig verschieden aussehen.
Ist das Ergebnis Zufall?
Nein. Die Simulation rechnet streng nach festen Gleichungen, und dieselben Startwerte ergeben jedes Mal genau dieselbe Bahn. Unvorhersagbar wird sie erst, weil man den Anfang in der Wirklichkeit nie beliebig genau kennt.
Wie genau rechnet die Simulation?
Sie rechnet 2000 Schritte je Sekunde mit dem Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung. Die Gesamtenergie, die ohne Reibung gleich bleiben muss, weicht dabei selbst bei den extremsten Einstellungen über eine Minute um weniger als ein Promille ab.
Was bewirkt die Schwerkraft?
Sie bestimmt das Tempo. Auf dem Mond mit 1,6 m/s² schwingt dasselbe Pendel rund zweieinhalbmal langsamer als auf der Erde, auf dem Jupiter mit 24,8 m/s² gut anderthalbmal schneller. Die Form der Bahn bleibt dieselbe.
Bewegt sich das Pendel, wenn ich weniger Bewegung eingestellt habe?
Nicht von selbst. Verlangt dein Gerät weniger Bewegung, startet die Simulation angehalten, und du entscheidest mit „Abspielen", ob und wann sich das Pendel bewegt. Im Hintergrund ruht sie ohnehin.
Quellen
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